Якоб Бернулли (1655-1705)
Якоб родился в Базеле 6.01.1655. Он был старшим сыном в семье преуспевающего фармацевта Николая Бернулли. Вначале, по желанию отца, учился в Базельском университете богословию, но увлёкся математикой, которую изучил самостоятельно. В университете овладел также 5 языками (французский, итальянский, английский, латинский, греческий), в 1671 году получил учёную степень магистра философии.
В 1676—1680 годах Якоб совершил поездку по Европе. Заехал во Францию для изучения идей Декарта, затем в Италию. Вернувшись в Базель, некоторое время работал частным учителем.
В 1682 Якоб отправился в новое путешествие, посетив Нидерланды и Англию, где познакомился с Гюйгенсом, Гуком и Бойлем. В 1683 он вернулся в Базель, и в следующем году женился на Юдит Штупанус, у них родились сын и дочь.
В 1683 Якоб Бернулли начал читать лекции по физике в Базельском университете. С 1687 он был избран профессором математики в этом университете и работал там до конца жизни.
В 1687 Якоб обнаружил первый мемуар Лейбница по анализу и с энтузиазмом начал освоение нового исчисления. Он обратился с письмом к Лейбницу с просьбой разъяснить несколько тёмных мест. Ответ он получил только спустя три года, поскольку Лейбниц тогда был в командировке в Париже. За это время Якоб самостоятельно освоил дифференциальное и интегральное исчисление, а заодно приобщил к нему брата Иоганна. По возвращении Лейбниц вступил в активную и взаимно-полезную переписку с обоими. Сложившийся триумвират — Лейбниц и братья Бернулли — 20 лет возглавлял европейских математиков и чрезвычайно обогатил новый анализ.
Первое триумфальное выступление молодого математика относится к 1690. Якоб решил задачу Лейбница о форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки. Лейбниц и Гюйгенс уже установили, что это полукубическая парабола, но лишь Якоб Бернулли опубликовал доказательство средствами нового анализа, выведя и проинтегрировав дифференциальное уравнение. При этом впервые появился в печати термин "интеграл".
В 1690 Бернулли впервые опубликовал исследование сложного процента, в котором обосновал существование предельной выгоды, которую оценил как большую 2,5 но меньшую 3. Путём нескольких приближений он фактически искал предел последовательности, который равен числу e.
В 1699 Якоб Бернулли стал членом Парижской академии наук, а в 1702 — Берлинской академии наук.
Ещё в 1692 у Якоба Бернулли обнаружились первые признаки туберкулёза, от которого он и скончался 16.08.1705 и был похоронен в Базельском соборе.
Якоб Бернулли внёс огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождение вариационного исчисления. Его именем названа лемниската Бернулли. Он исследовал также циклоиду, цепную линию, и особенно логарифмическую спираль.
Последнюю из перечисленных кривых Якоб завещал нарисовать на своей могиле; по невежеству там изобразили спираль Архимеда. Согласно завещанию, вокруг спирали выгравирована надпись на латыни, "EADEM MUTATA RESURGO" ("изменённая, я вновь воскресаю"), которая отражает свойство логарифмической спирали восстанавливать свою форму после различных преобразований.
Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы "числа Бернулли".
Он изучил теорию вероятностей по книге Гюйгенса "О расчётах в азартной игре", в которой ещё не было определения и понятия вероятности (её заменяет количество благоприятных случаев). Якоб Бернулли ввёл значительную часть современных понятий теории вероятностей и сформулировал первый вариант закона больших чисел — теорему Бернулли. Якоб Бернулли подготовил монографию в этой области, однако издать её не успел. Она была напечатана посмертно, в 1713, его братом Николаем, под названием "Искусство предположений". Это содержательный трактат по теории вероятностей, статистике и их практическому применению, итог комбинаторики и теории вероятностей XVII века. В комбинаторике его имя носит распределение Бернулли.
Якоб Бернулли издал также работы по различным вопросам арифметики, алгебры, геометрии и физики.
Иоганн родился в Базеле 27.07(6.08).1667. Он был младшиим сыном в семье преуспевающего фармацевта Николая Бернулли. Брат Якоба Бернулли.
Иоганн стал магистром искусств в 18 лет, перешёл на изучение медицины, но одновременно увлёкся математикой (хотя медицину не бросил, и по окончании университета всю жизнь занимался врачебной практикой). Вместе с братом Якобом изучал первые статьи Лейбница о методах дифференциального и интегрального исчисления, и начал проводить собственные глубокие исследования.
В 1691, будучи во Франции, Иоганн стал пропагандировать новое исчисление, создав первую парижскую школу анализа. По возвращении в Швейцарию он переписывался со своим учеником маркизом де Лопиталем, которому оставил содержательный конспект нового учения из двух частей: исчисление бесконечно малых и интегральное исчисление. В ответ на одно из писем Лопиталя Иоганн сообщает ему метод раскрытия неопределённостей, известный сейчас как "правило Лопиталя".
В качестве концептуальной основы действий с бесконечно малыми Иоганн сформулировал в начале лекций три постулата (первая попытка обоснования анализа):
Позже, при издании своего учебника, Лопиталь отбросил 3-й постулат как излишний, вытекающий из первых.
В этом же 1691 году появился первый печатный труд Иоганна в Acta Eruditorum. Он нашёл уравнение "цепной линии" (из-за отсутствия в то время показательной функции построение выполнялось через логарифмическую функцию). Одновременно подробное исследование кривой дали Лейбниц и Гюйгенс.
В 1692 Иоганном получено классическое выражение для радиуса кривизны кривой.
В 1693 Иоганн подключился к переписке брата с Лейбницем. В 1694 он защитил докторскую диссертацию по медицине.
В том же году Иоганн женился. У него родились 5 сыновей и 4 дочери. Один из его сыновей, Даниил Бернулли, также оставил значительный след в науке.
В Acta Eruditorum Иоганн опубликовал статью "Общий способ построения всех дифференциальных уравнений первого порядка", в которой появились выражения "порядок уравнения" и "разделение переменных" — последним термином Иоганн пользовался ещё в своих парижских лекциях. Выражая сомнение в сводимости любого уравнения к виду с разделяющимися переменными, Иоганн предложил для уравнений первого порядка общий приём построения всех интегральных кривых при помощи изоклин в определяемом уравнением поле направлений.
По рекомендации Гюйгенса в 1695 Иоганн становится профессором математики в Гронингене.
В 1696 Лопиталь выпустил в Париже под своим именем первый в истории учебник по математическому анализу: "Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий" (на французском языке), в основу которого была положена первая часть конспекта Бернулли. Значение этой книги для распространения нового учения трудно переоценить — не только потому, что она была первой, но и благодаря ясному изложению, прекрасному слогу, обилию примеров. Как и конспект Бернулли, учебник Лопиталя содержал множество приложений; собственно, они занимали львиную долю книги — 95 %.
Практически весь изложенный Лопиталем материал был почерпнут из работ Лейбница и Иоганна Бернулли (авторство которых в общей форме было признано в предисловии). Кое-что, впрочем, Лопиталь добавил и из своих собственных находок в области решения дифференциальных уравнений.
Объяснение этой необычной ситуации — в материальных затруднениях Иоганна после женитьбы. Двумя годами ранее, в письме от 17.03.1694 Лопиталь предложил Иоганну ежегодную пенсию в 300 ливров, с обещанием затем её повысить, при условии, что Иоганн возьмет на себя разработку интересующих его вопросов и будет сообщать ему, и только ему, свои новые открытия, а также никому не пошлёт копии своих сочинений, оставленных в своё время у Лопиталя. Этот тайный контракт пунктуально соблюдался два года, до издания книги Лопиталя. Позднее Иоганн Бернулли — сначала в письмах к друзьям, а после смерти Лопиталя (2.02.1704) и в печати — стал защищать свои авторские права.
Книга Бернулли — Лопиталя имела оглушительный успех у самой широкой публики, выдержала четыре издания, обросла комментариями.
В 1696 Иоганн опубликовал задачу о брахистохроне: найти форму кривой, по которой материальная точка быстрее всего скатится из одной заданной точки в другую. Ещё Галилей размышлял на эту тему, но ошибочно полагал, что брахистохрона — дуга окружности. Это была первая в истории вариационная задача динамики, и математики с ней блестяще справились. Иоганн сформулировал задачу в письме Лейбницу, который тотчас её решил и посоветовал выставить на конкурс. Тогда Иоганн опубликовал её в Acta Eruditorum. На конкурс пришли три решения, все верные: от Лопиталя, Якоба Бернулли и (анонимно опубликовано в Лондоне без доказательства) от Ньютона. Кривая оказалась циклоидой. Своё собственное решение Иоганн тоже опубликовал.
В 1699 Иоганн вместе с Якобом был избран иностранным членом Парижской Академии наук. В 1702 совместно с Лейбницем он открыл приём разложения рациональных дробей (под интегралом) на сумму простейших.
В 1705 Иоганн вернулся в Базельский университет, профессором греческого языка. Восемь раз он был избран деканом факультета философии, и дважды — ректором университета. Сразу после смерти брата Якоба (16.08.1705) Иоганн был приглашён на его кафедру в Базеле и занимал её до самой смерти.
Иоганн Бернулли поставил классическую задачу о геодезических линиях и нашёл характерное геометрическое свойство этих линий, а позднее вывел их дифференциальное уравнение. В 1743 им была опубликована монография "Гидравлика", где при исследовании успешно применяется закон сохранения энергии (живой силы, как тогда говорили).
Незадолго до кончины он опубликовал свою переписку с Лейбницем, представляющую огромный исторический интерес. Иоганн Бернулли умер 1.01.1748.
Иоганн Бернулли воспитал множество учеников, среди которых — Леонард Эйлер, Даниил Бернулли и Николас де Бегелин. В честь Якоба и Иоганна Бернулли назван кратер на Луне.
Даниил родился 29.01(8.02).1700 в Гронингене (Голландия), где его отец Иоганн Бернулли тогда преподавал математику в университете. С юных лет Даниил увлёкся математикой, вначале учился у отца и брата Николая, параллельно изучая медицину. После возвращения в Швейцарию подружился с Эйлером.
В 1721 Даниил сдал экзамены на медика в Базеле, защитил диссертацию. Затем он уехал в Италию, где набирался опыта в медицине.
В 1724 Даниил выпустил "Математические этюды", принёсшие ему известность. В 1725 Даниил вместе с братом Николаем уехал по приглашению Пётра I в Петербург, где по императорскому указу была учреждена Петербургская академия наук. Даниил занимался там медициной, но потом перешёл на кафедру математики, ставшую вакантной после смерти его брата Николая (31.07.1726).
Момент для приезда братьев был чрезвычайно неудачным — как раз скончался Пётр I, началась неразбериха. Приглашённые в Академию иностранцы частично рассеялись, но Даниил остался и даже уговорил приехать в Санкт-Петербург друга Эйлера (прибыл в 1727). Но 6(17).05.1727 умерла императрица Екатерина I, и властям окончательно стало не до Академии.
В 1733 Даниил вернулся в Базель и устроился профессором анатомии и ботаники (других вакансий не было). Однако он остался почётным членом Петербургской академии, в её журнале опубликованы 47 из 75 трудов Даниила Бернулли. Во время пребывания в России он напечатал "Замечания о рекуррентных последовательностях" (1728). Будучи в Швейцарии Даниил вёл оживлённую, взаимно полезную переписку с Эйлером.
В 1738 как результат многолетних трудов вышел фундаментальный труд Даниила Бернулли "Гидродинамика". Дифференциальных уравнений движения жидкости в книге ещё нет (их установил Эйлер в 1750-е годы).
С 1747 по 1753 вышла важная серия работ о колебаниях струны. Даниил Бернулли, исходя из физических соображений, догадался разложить решение в тригонометрический ряд и провозгласил, что этот ряд — не менее общий, чем степенной. Эйлер и Д’Аламбер выступили с возражениями; вопрос был решён только в XIX веке, и Бернулли оказался прав.
В 1748 Даниил был избран иностранным членом Парижской Академии наук. В 1750 он перешёл на кафедру физики Базельского университета, где дважды был избран ректором и трудился до своей кончины. Он умер 17.03.1782 за рабочим столом.
Отношения Даниила с отцом колебались от натянутых до враждебных, споры между ними о приоритете не утихали.
Более всего Даниил Бернулли прославился трудами в области математической физики и теории дифференциальных уравнений — его считают, наряду с Д’Аламбером и Эйлером, основателем математической физики. Даниил основательно обогатил кинетическую теорию газов, гидродинамику и аэродинамику, теорию упругости и т.д. Он первый выступил с утверждением, что причиной давления газа является тепловое движение молекул. В своей классической "Гидродинамике" Даниил Бернулли вывел уравнение стационарного течения несжимаемой жидкости (закон Бернулли), лежащее в основе динамики жидкостей и газов. Он по праву считается одним из создателей кинетической теории газов b гидродинамики. С точки зрения молекулярной теории он объяснил закон Бойля — Мариотта.
Даниилу Бернулли принадлежит одна из первых формулировок закона сохранения энергии (живой силы, как тогда говорили), а также (одновременно с Эйлером) первая формулировка закона сохранения момента количества движения. Двниил много лет изучал и математически моделировал упругие колебания, ввёл понятие гармонического колебания, сформулировал принцип суперпозиции колебаний.
В 1746 Даниил впервые показал, что центробежная сила не является реальной силой, а зависит от выбора системы отсчёта. В математике он опубликовал ряд исследований по теории вероятностей, теории рядов, численным методам и дифференциальным уравнениям. Он первый применил математический анализ к задачам теории вероятностей (1768 год), до этого в ней использовался только комбинаторный подход. Бернулли продвинул также математическую статистику, рассмотрев с применением вероятностных методов ряд практически важных задач.
